不等式关系与不等式，确定代数式取值范围的方法

1、不等关系与不等式

（1）不等式的定义

用不等号（)表示不等关系的式子叫不等式，如等用“”或“”连接的不等式叫严格不等式，用“”“”连接的不等式叫非严格不等式.

（2）不等式的分类

按照不等号的开口方向分类：

同向不等式——在两个不等式中，如果每一个的左边都大于右边，或每一个的左边都小于右边，这样的两个不等式叫同向不等式例如：是同向不等式.

异向不等式——在两个不等式中，如果一个不等式的左边大于右边，而另一个不等式的左边小于右边，那么这两个不等式叫异向不等式例如：是异向不等式.

知识拓展

按成立条件分类：

绝对不等式无论用什么实数代替不等式中的字母都成立的不等式如.

条件不等式——只有用某些范围内的实数代替不等式中的字母才成立的不等式如

矛盾不等式——无论用什么实数代替不等式中的字母都不能使不等式成立的不等式如.

（3）用不等式表示不等关系

①在现实生活中，存在着许许多多的不等关系，在数学中，我们用不等式来表示这样的不等关系.

例如：限速的路标，指示司机在前方路段行驶时应使汽车的速度不超过，写成不等式就是.

②文字语言与数学符号之间的转换将实际的不等关系写成对应的不等式时，应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换，这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系.

③常见的文字语言转化为数学语言的对应关系如下：

温馨提示

在常用的不等号中，要注意“≥”与“≤”的含义，例如，，应读作“小于或等于”，其含义是指“或”，与“不大于”相同中只要有一个成立，就有.

2、实数比较大小

（1）实数比较大小的依据

在数轴上不同的点与点分别表示两个不同的实数与，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示可以看出之间具有以下性质：

如图，如果是正数，那么；如果是负数，那么；如果等于零那么.反之也成立，从而；；.

（2）实数比较大小的基本方法

比较两个实数的大小，基本方法是作差，对差的正、负作出判断，进而得出结论.

3、不等式的基本性质

 温馨提示

不等式的上述推论与性质在解决问题的过程中很难单一地起作用，往往是性质中的几条综合在一起.因此，对上述性质应该用联系的观点看待它们，并把握性质本身的限制条件.

精准教学方法

1、不等式的性质问题

在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件.如“同向不等式”才可相加，“同向且两边同正的不等式”才可相乘.可乘性中的“的符号”等都需要注意.

例1  下列命题中，正确的是（   ）

A.若，则

B.若，则 

C.若，则

D.若，则

解析  A项，取，可知A错误；

B项，当时，，∴B错误；

C项，∵，∴，又，∴，∴C正确；

D项，取，可知D错误，故选C.

答案C

2、比较数（式）的大小的方法

温馨提示

（1）比较两个实数与的大小，作差法需归结为判断它们的差的符号，因此，因式分解时越彻底越好，若用配方法化成和的形式，则各项符号需相同.

（2）用作商法比较大小时，被除数与除数同号，否则不等号方向有可能弄错.

（3）比较两个数或代数式（均大于零）的大小，也可化为比较两个数平方的大小.

（4）在比较两个数的大小时，若作差后不易变形，则可与中间量（如0或1等）进行比较，再由不等式的传递性得到两数的大小关系.

（5）在比较两个数的大小时，若差式中变量较多，不易变形，则应考虑消元，减少式中变量，以利于判断差式的符号。

例2  比较下列各组中两个代数式的大小.

（1）与；

（2）与.

解析（1）因为

，

所以.

（2）

.

因为，所以，

故.

3、确定代数式的取值范围的方法

（1）同向不等式只能相加，不能相减，如已知的范围，在求的范围时，将用与表示为很重要.因此，解此类题，应从要确定范围的式子与已知给定范围的两个或几个式子的线性关系入手.

（2）在应用不等式性质求代数式的取值范围时，易错用性质或使范围变大.

如：设，且，求的取值范围.

错解：∵，

∴

由①②得

∵，

∴，

即.

错误原因是忽视了是与的整体范围，它不同于的单一范围，从的范围求出a，b的范围后再表示成，范围必定扩大.

正解：，①

，②

由①②得，

.

，

∵，

∴.

∵，

∴.

∴，

即.

例3 已知，求的取值范围.

解析 设，则解得

由题意得.

∴.

4、用不等式表示实际问题中的不等关系

将实际问题中的不等关系写成对应的不等式时，应从实际问题中的关键性文字语言与对应的数学符号之间作出正确的转化.在用不等式表示不等关系时，注意以下几点：

（1）不等关系是什么，怎样表达；

（2）不等号是“”还是“”；

（3）实际意义对范围的影响.

例4  用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18cm，要求菜园的面积不小于216，靠墙的一边长为，其中的不等关系可用不等式（组）表示为________.

解析 矩形靠墙的一边长为，则与其相邻的边长为，即.

根据题意知

答案