高中数学公式、结论汇总1：二次函数知识点，三种形式以及相关不等式的恒成立问题

上一期鲸准教学小编总结了，元素与集合的一些结论和公式，这一期狼哥就带你们进入高中数学二次函数公式结论汇总

1、高中数学二次函数的解析式的三种形式

(1)  一般式：f(x)=ax²+bx+c  (a≠0);

(2)  顶点式：f(x)=a(x-h)²+k  (a≠0);

(3)  零点式：f(x)=a(x-x₁)(x-x₂)  (a≠0);

2、解连不等式  N < f(x) < M 常有以下转化形式

N < f(x) < M <=> [f(x) - M][f(x) - N] < 0 <=> |f(x) - (M+N)/2| < (M+N)/2 <=> (f(x) - N) / (M-f(x)) > 0 

<=> 1/(f(x) - N) > 1/(M -N)

3、方程f(x) = 0 在 (k₁, k₂) 上有且只有一个实根，与 f(k₁)f(k₂) < 0 不等价，前者是后者的一个必要而不充分条件，特别底，方程

f(x)=ax²+bx+c  (a≠0) 有且只有一个实根在 (k₁, k₂) 内，等价于b²-4ac > 0 且 f(k₁)f(k₂) < 0 ，或  f(k₁) = 0 且 k₁ < -b/2a < (k₁+k₂)/2 ，或 f(k₂) = 0 且 (k₁+k₂)/2 < -b/2a < k₂

4、闭区间上的二次函数的最值

二次函数 f(x)=ax²+bx+c  (a≠0)  在闭区间 [p, q] 上的最值只能在 x = -b/2a 处及区间的两端点处取得，具体如下：

（1）、当 a > 0 时，若 x = -b/2a ∈ [p, q] ，则 f(x)_min = f(-b/2a)，f(x)_max = max{f(p)，f(q)}；若 x = -b/2a ∉ [p，q]，f(x)_max = max{f(p)，f(q)}，f(x)_min = min{f(p)，f(q)}；

（2）、当 a < 0 时，若 x = -b/2a ∈ [p, q] ，则 f(x)_min = min{f(p)，f(q)}，f(x)_max = f(-b/2a)；若 x = -b/2a ∉ [p，q]，f(x)_max = max{f(p)，f(q)}，f(x)_min = min{f(p)，f(q)}；

5、一元二次方程的实根分布

依据：若 f(m)f(n) < 0，则方程 f(x) = 0 在区间 (m，n) 内至少有一个实根。

设 f(x) = x² + px + q，则：

（1）、方程 f(x) = 0 在区间 (m，+∞) 内有根的充要条件为  f(m) = 0 或 p² - 4q ≥ 0，-p/2 > m；

（2）、方程 f(x) = 0 在区间 (m，n) 内有根的充要条件为 f(m)f(n) < 0 或 f(m) > 0，f(n) >0，p² - 4q ≥ 0，m < -p/2 > n；

（3）、方程 f(x) = 0 在区间 (-∞，m) 内有根的充要条件为 f(m) < 0 或 p² - 4q ≥ 0，-p/2 < m；

（2）、在给定区间 (-∞，+∞) 的子区间上含参数的二次不等式 f(x，t) ≤ 0（t 为参数）恒成立的充要条件是 f(x，t)_min ≤ 0 (x ∉ L)

7、与二次函数有关的不等式恒成立问题

（1） ax²+bx+c > 0，(a≠0)  恒成立的充要条件是 a > 0 且 b²-4ac < 0；

（2） ax²+bx+c < 0，(a≠0)  恒成立的充要条件是 a < 0 且 b²-4ac < 0；

（3） 设f(x) = log_m(ax²+bx+c )，(a≠0)  记 △ = b²-4ac，若 f(x) 定义域为 K，则 a > 0，△ < 0，若 f(x) 的值域为 R，则 a > 0，△ ≥ 0

8、如果对二次函数和一元二次方程基础概念混淆不清的，可以看这篇文章：函数零点的存在与唯一，一元二次方程与二次函数关系，零点个数的判断方法

9、夯实基础：二分法求函数零点近似值，二次函数的图像和性质解题，二次函数区间最值求法

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