高中数学公式、结论汇总1:二次函数知识点,三种形式以及相关不等式的恒成立问题
上一期鲸准教学小编总结了,元素与集合的一些结论和公式,这一期狼哥就带你们进入高中数学二次函数公式结论汇总
1、高中数学二次函数的解析式的三种形式
(1) 一般式:f(x)=ax2+bx+c (a≠0);
(2) 顶点式:f(x)=a(x-h)2+k (a≠0);
(3) 零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2) (a≠0);
2、解连不等式 N < f(x) < M 常有以下转化形式
N < f(x) < M <=> [f(x) - M][f(x) - N] < 0 <=> |f(x) - (M+N)/2| < (M+N)/2 <=> (f(x) - N) / (M-f(x)) > 0
<=> 1/(f(x) - N) > 1/(M -N)
3、方程f(x) = 0 在 (k1, k2) 上有且只有一个实根,与 f(k1)f(k2) < 0 不等价,前者是后者的一个必要而不充分条件,特别底,方程
f(x)=ax2+bx+c (a≠0) 有且只有一个实根在 (k1, k2) 内,等价于b2-4ac > 0 且 f(k1)f(k2) < 0 ,或 f(k1) = 0 且 k1 < -b/2a < (k1+k2)/2 ,或 f(k2) = 0 且 (k1+k2)/2 < -b/2a < k2
4、闭区间上的二次函数的最值
二次函数 f(x)=ax2+bx+c (a≠0) 在闭区间 [p, q] 上的最值只能在 x = -b/2a 处及区间的两端点处取得,具体如下:
(1)、当 a > 0 时,若 x = -b/2a ∈ [p, q] ,则 f(x)min = f(-b/2a),f(x)max = max{f(p),f(q)};若 x = -b/2a ∉ [p,q],f(x)max = max{f(p),f(q)},f(x)min = min{f(p),f(q)};
(2)、当 a < 0 时,若 x = -b/2a ∈ [p, q] ,则 f(x)min = min{f(p),f(q)},f(x)max = f(-b/2a);若 x = -b/2a ∉ [p,q],f(x)max = max{f(p),f(q)},f(x)min = min{f(p),f(q)};
5、一元二次方程的实根分布
依据:若 f(m)f(n) < 0,则方程 f(x) = 0 在区间 (m,n) 内至少有一个实根。
设 f(x) = x2 + px + q,则:
(1)、方程 f(x) = 0 在区间 (m,+∞) 内有根的充要条件为 f(m) = 0 或 p2 - 4q ≥ 0,-p/2 > m;
(2)、方程 f(x) = 0 在区间 (m,n) 内有根的充要条件为 f(m)f(n) < 0 或 f(m) > 0,f(n) >0,p2 - 4q ≥ 0,m < -p/2 > n;
(3)、方程 f(x) = 0 在区间 (-∞,m) 内有根的充要条件为 f(m) < 0 或 p2 - 4q ≥ 0,-p/2 < m;
(2)、在给定区间 (-∞,+∞) 的子区间上含参数的二次不等式 f(x,t) ≤ 0(t 为参数)恒成立的充要条件是 f(x,t)min ≤ 0 (x ∉ L)
7、与二次函数有关的不等式恒成立问题
(1) ax2+bx+c > 0,(a≠0) 恒成立的充要条件是 a > 0 且 b2-4ac < 0;
(2) ax2+bx+c < 0,(a≠0) 恒成立的充要条件是 a < 0 且 b2-4ac < 0;
(3) 设f(x) = logm(ax2+bx+c ),(a≠0) 记 △ = b2-4ac,若 f(x) 定义域为 K,则 a > 0,△ < 0,若 f(x) 的值域为 R,则 a > 0,△ ≥ 0
8、如果对二次函数和一元二次方程基础概念混淆不清的,可以看这篇文章:函数零点的存在与唯一,一元二次方程与二次函数关系,零点个数的判断方法
9、夯实基础:二分法求函数零点近似值,二次函数的图像和性质解题,二次函数区间最值求法
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